TikTok 的数学

假设 TikTok 获取了一批 $N$ 个用户，平均每个用户的获客成本是 $CAC$。

那么这批用户产生的总贡献利润可以写成：

$$Profit = N \times (LTV - CAC)$$

这里的 $LTV$ 指的是每个用户在整个生命周期内的毛利，不含获客成本。它可以拆解为：

$$LTV = \sum_{t=1}^{T} R_t \times (ARPDAU_t - CTS_t) = ARPDAU_t × GM_t$$

其中 $R_t$ 是这批用户在第 $t$ 天的留存率，$ARPDAU_t$ 是第 $t$ 天每个日活用户的平均收入，$CTS_t$ 是第 $t$ 天服务一个活跃用户的成本。

对 TikTok 这样的广告产品，$ARPDAU_t$ 可以进一步拆解为：

$$ARPDAU_t = MPU_t \times AdLoad_t \times \frac{CPM_t}{1000}$$

其中 $MPU_t$ 是第 $t$ 天每个活跃用户的使用分钟数，$AdLoad_t$ 是每分钟的广告展示次数，$CPM_t$ 是每千次广告展示的收入。

因此：

$$LTV = \sum_{t=1}^{T} R_t \times \left( MPU_t \times AdLoad_t \times \frac{CPM_t}{1000} - CTS_t \right)$$

这批用户的利润就变成：

$$Profit = N \times \left[ \sum_{t=1}^{T} R_t \times \left( MPU_t \times AdLoad_t \times \frac{CPM_t}{1000} - CTS_t \right) - CAC \right]$$

由于这批用户在第 $t$ 天的活跃人数是：

$$DAU_t = N \times R_t$$

同一个公式可以改写为：

$$Profit = \sum_{t=1}^{T} DAU_t \times (ARPDAU_t - CTS_t) - N \times CAC$$

或者完全展开：

$$Profit = \sum_{t=1}^{T} DAU_t \times \left( MPU_t \times AdLoad_t \times \frac{CPM_t}{1000} - CTS_t \right) - N \times CAC$$